TU, fractalul …

fractalcristal.jpg

Text reeditat si repostat la sugestia lui Cristian Cocea :).

De la particulele subatomice pina la corpurile stelare si galaxii, toata materia ce compune Universul e stratificata ierarhic.

A fost avansata si ideea unei similaritati cu sine, self-similarity, si de aici ipoteza ca natura si cosmosul ar fi compuse din fractali.

Toata lumea stie ca atomii sunt compusi din particule subatomice, elementare, iar stelele sunt compuse din atomi … insa putini oameni s-au gindit ca si stelele pot fi asemenea  unor atomi galactici care, la rindul lor, compun ceva mult mai complex, ceva ce depaseste puterea de investigatie a omului mileniului trei.

Ce este un fractal ?
Cea mai simpla definitie cred ca ar fi aceasta :
– repetarea la infinit si pe mai multe straturi ierarhice a unor motive geometice sau paternuri care au la baza un raport matematic din categoria „proportiilor de aur” – golden proportion, ca de exemplu numarul PI(3.14), numarul lui Fibonacci, baza logaritmului natural …

An2a.gif

 

Cuvintul fractal provine de latinescul frangere – a fringe, a sparge.

Un fractal este o formă ce are dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decât dimensiunea sa topologică tradiţională.
Ar trebui amintita si teoria haosului care incearca, printre altele, sa explice fractalizarea materiei si a proceselor; ba mai mult decit atit, a fost avansata si ipoteza „simetriei haosului”.

De la fractalii lui Mandelbrot  la cristalele de gheata ale lui Fournier, de la triunghiul lui Sierpinski   la vasele sanguine, frunzele copacilor, aripile fluturilor, frunzele de feriga, cochiliile melcilor, conopida, floarea soarelui, dunele de nisip ale desertului, molecula ADN/DNA, apa, vintul, muzica, dragostea … totul este de fapt o repetare a unor motive, patterns, dupa un anume algoritm si anumite reguli ce guverneaza Universul.

 

fibbon1.jpg

(numarul lui Fibonacci : 34 / 55 = 0.618 sau 55 /34 = 1.618 care in imagini arata astfel)

 

Matematicianul Michael Barnsley a fost fascinat din copilarie de ferigi, de uluitoarea repetare a formelor acestor crengi, dar de abia cu multi ani mai tirziu a reusit sa inteleaga modul in care fiecare frunza se aseamana cu intregul, a reusit sa scrie un program de calcul pentru a modela aceste caracteristici de crestere si a transformat banala feriga in unul dintre cei mai cunoscuti fractali.

Barnsley a continuat să dezvolte o metoda nouă, unică, de desenare a fractalilor: Jocul Haosului. Chiar şi mai important, în 1985, Barnsley şi John Elton (nici o legatura cu cintaretul Elton John  : ) ) au demonstrat că orice imagine din lume poate fi reprezentată cu ajutorul unei binecunoscute categorii de fractali.

Geometria fractala nu a patruns  doar  in fizica.
Medicina, climatologia, geologia, seismica si chiar marketingul si economia, utilizeaza programele de simulare fractala.

Seismologii vorbesc de valuri fractale,  fractal waves, ce strabat scoarta pamintului.
Psihologii vorbesc de asa numitele boli dinamice ce apar in momentul desincronizarii fractalilor, sau cum ar spune medicina indiana – atunci cind omul iese din armonia Universului.

Cu ajutorul simularilor fractale (sau fractaliere) ale lui Mandelbrot a fost posibila prezicerea cu mare exactitate a variatiei pretului de bursa al bumbacului.

Geneticienii sint convinsi ca molecula ADN/DNA este unul dintre cele mai complicate modele fractale existente in natura si reprezinta prin excelenta acea „similariate cu sinele”, self-similarity , cit si principiul „partii asemanatoare cu intregul”.

Ma gindesc la Eminescu care spunea in Scrisoarea I :
„Unul e in toti, tot astfel precum una e in toate „…

Din punctul de vedere al darwinistilor Natura e rezultatul a doi factori majori : mutatiile genetice si selectia naturala ( random genetic mutation and natural selection ).

Astazi insa, oricine vrea sa scrie o lucrare despre designul entitatilor naturale, specia umana, regnul animal, regnul vegetal … si terminind cu cele mai simple celule sau cu molecula ADN/DNA, e nevoit sa faca apel la geometria fractalilor.

Aventura fractalilor incepe in 1975 cind matematicianul francez Benoit Mandelbrot publica celebra sa carte Les Objets Fractal.

 

 

 

 

Un deceniu mai tirziu, Gleick observa ca multi biologi reusisera sa faca unele analogii intre fractali si organe anatomice sau tesuturile care le compun, ex: branchiile, tesutul inimii, etc.

Iata ce scrie Gleick :

„some theoretical biologists began to find fractal organisation controlling structures all through the body. The standard „exponential” description of bronchial branching proved to be quite wrong; a fractal description turned out to fit the data. The urinary collecting system proved fractal. The biliary duct in the liver. The network of special fibres in the heart that carry pulses of electric current to the contracting muscles….”Gleick pune retorica intrebare :
” Cum a reusit natura sa evolueze catre aceasta complicata arhitectura si cum reuseste sa o controleze ?”

In cartea sa Mandelbrot nota ca numai in geometria euclidiana se poate vorbi de complexitate.
Geometria fractalilor se bazeaza pe seturi foarte simple.
Celebrul set fractalier Mandelbrot are la baza o ecuatie simpla de forma : z’=z2 + c.

 

mandellz.gif

 

 

Mandelbrot a spus : „Take a number, multiply it by itself, and add the original number”.

Setul Julia are la baza urmatoarea formula :

Cλ(z) = iλ cos z
Pentru λ aproximativ egal cu 0.67 se obtine imaginea de mai jos :

 fractal_2a.jpg

 

Este suficient ca λ sa creasca foarte putin ca valoare pentru a se trece din starea de ordine in cea de haos , iar figura urmatoare ilustreaza foarte bine ce se intimpla atunci cind λ variaza cu o cantitate aproape infinitezimala in raport cu valoarea proprie.

fractal_2b.jpg


Tragem concluzia ca intre ORDINE si HAOS nu sint decit niste diferente MINIME.
  La fel intre IUBIRE si URA.

Matematica si geometria fractalilor reprezinta un pod de legatura intre ordine si dezordine, intre intimplare si prezicere, intre unitate si intreg, ceva asemanator celebrului model al oului chinezesc,  chinesse egg.

Iata ce scria William. F. Allman in articolul „The Mathematics of Human Life” :
„The body’s overall structure bears the signature of the chaotic processes that shape it – right down to the DNA molecule that serves as its genetic blueprint. The fractal nature of DNA appears to play a role in its ability to pass on biological information that controls development of the various parts of the body. Because fractals represent a midway point between randomness and predictability, DNA’s fractal structure may represent a compromise between encoding the maximum amount of information, while still being extremely resilient to damage”
Dr. Lipton
are citeva carti si articole interesante pe tema structurii fractaliere a moleculei DNA/ADN. El a lansat si conceptul omului fractal.

„I was sitting in my laboratory looking at a eukaryotic cell through an electron microscope. I was reiterating in my mind the common understanding that all the physiologic systems that can be found in the human being are in the eukaryotic cell when it really struck me… the cell I was looking at was a fractal of the human being. Alternatively, the human being is a fractal of the cell – a version on a greater order of magnitude.”…deci dupa parerea lui Lipton omul este un fractal al celulei !!!

Frumusetea din noi se intinde dincolo de puterea noastra de intelegere. O putem privi doar cu ochii mintii. Iar atunci cind vom putea trece de anumite bariere de gindire si de egoism, vom constata cu stupoare ca nu avem cum sa fim nefericiti.

Cind am ascultat-o pentru prima data pe Vanessa Mae cintind la vioara Tango de los exilados, am avut in minte ceva asemanator cu ceea ce se vede mai jos … numai ca ritmul era cu mult mai alert .

 

 

Anunțuri

intuiţia, imaginaţia, fractalii …

 

De multe ori ni se intimpla ca dupa indelungi eforturi de gindire, cind am pierdut orice speranta, sa gasim o solutie logica la problema ce ne framinta. Solutia ne apare brusc si pe neasteptate. Acest lucru ne face sa credem ca exista o parte a mintii noastre asupra careia nu avem control, si ca, in niste cotloane ascunse ale creierului, se dezvolta un soi de gindire autonoma.
Psihologii au denumit aceasta traire subiectiva in fel si chip, ca de exemplu : intuitie, inspiratie, iluminare spirituala sau „insight”.

Intuitia are la baza patru aspecte importante : unul dinamic (legat de natura schimbărilor), aspectul calitativ (marcat de schimbarea în reprezentarea situaţiei problemă), un aspect cauzal (referitor la mecanismul de producere a schimbărilor: de ex., prin schimbarea codului, formarea unui model mintal etc.) şi ultimul, cel al trăirii subiective a schimbărilor (care cuprinde componentele afective şi metacognitive).

O serie de termeni cum ar fi schimbare bruscă, emergenţă, coerenţă, model mintal, tranziţie, sugerează posibilitatea abordării discontinuităţilor din cursul procesului rezolutiv din perspectiva teoriei matematice a sistemelor dinamice neliniare (TSD).
Citez dintr-o lucrare a Luciei Faiciuc :

„O abordare dinamică trebuie să ofere o nouă viziune asupra rolului pe care îl are dimensiunea temporală (timpul) în desfăşurarea proceselor rezolutive. Se cere depăşirea a ceea ce Gibson (1986) consideră a fi convingerea comună: că trecutul încetează să existe dacă nu e păstrat în memorie, că orice efect al trecutului asupra prezentului e datorat memoriei, că prezentul nu poate fi înţeles decât în termenii trecutului, prin adăugarea lui la prezent, realizîndu-se astfel separarea între un prezent instantaneu şi un trecut liniar. Noua concepţie presupune un trecut înglobat într-un prezent care nu se sfârşeste niciodată. Ca urmare, schimbările în cursul rezolvării unei probleme, aflarea soluţiei, nu s-ar datora exclusiv descoperirii informaţiei relevante (în mediu sau memorie) sau a modului de prelucrare cerut de informaţia dată, deci unui input specific sau experienţei anterioare. Ele ar putea fi efectul unor inputuri nespecifice, a unor proprietăţi dinamice ale sistemelor implicate. Orice stare din trecut, orice valoare anterioară a vreunui parametru de ordine sau de control, a vreunei variabile dinamice ar contribui la determinarea stării curente şi a celor viitoare ale unui proces rezolutiv. În acelaşi timp, modificări importante fie ale inputului specific, fie ale celui nespecific pot să nu aibă nici un efect, starea sistemului rămânând neschimbată, în ciuda aşteptărilor (tocmai datorită neliniarităţii sale). ”

Unele din aceste idei au fost dezvoltate in urmatoarele lucrari :
Barton,S. (1994), Chaos, Self-Organization, and Psychology
Dominowski, R. L., Dallob, P. (1995), Insight and Problem Solving
Simonov, I. (1991), The Motivated Brain

Iata ce scria si Ion Manolescu, inspirindu-se din scrierile lui Kurzweil :

” In ipoteza lui Kurzweil, care imbina doua idei teoretice revolutionare ale deceniului zece, cea a computerului lichid ADN (enuntata de doctorii Leonard Adleman si Robert Corn) si cea a computerului lichid cuantic (elaborata de Isaac Chuang si Neil Gershenfeld), s-ar putea construi un supermicrocomputer cuantic pe cit de infinitezimal, pe atit de performant la nivelul operatiunilor de calcul: „S-a spus ca, in raport cu cea digitala, computatia cuantica e cum ar fi bomba cu hidrogen pe linga un foc de artificii. […] Ginditi-va (macar teoretic) la un computer de dimensiunea Universului (noncuantic) in interiorul caruia fiecare neutron, electron si proton universal e la rindul lui transformat intr-un computer, orice particula fiind capabila sa efectueze mii de miliarde de calcule pe secunda. Imaginati-va apoi anumite probleme pe care acest computer de dimensiuni universale nu le poate rezolva. […] In vreme ce masiva computatie digitala (inclusiv cea a computerului nostru, teoretic extins la dimensiunea Universului) nu poate rezolva aceasta categorie de probleme, un computer cuantic de dimensiuni microscopice le-ar putea solutiona in mai putin de a miliarda parte dintr-o secunda“ (Kurzweil, op. cit., p. 142). ”

Din proprie experienta am observat ca persoanele cu o imaginatie puternic dezvoltata au deasemeni si o buna intuitie. Poate ca e vorba de acele operatii executate cu viteze fantastice de un microcomputer cuantic la care constientul nu are acces, dar care, la sfirsitul computatiei, trimite rezultatele in baza de date gestionata de constient.
Din pacate, mai am multe de invatat in domeniul psihologiei, dar as risca o afirmatie dictata de intuitie :

Intuitia si imaginatia sunt intr-o puternica relatie de interdependenta, dezvoltarea uneia ducind in mod implicit la dezvoltarea celeilalte.

Eu vad intuitia ca pe o proiectie a imaginatiei, la fel cum vad fractalul ca pe o proiectie a unei relatii matematice.
Intuitia e un fel de vedere simultana, atit cu ochii mintii cit si cu inima.
Gindirea oamenilor, pina la un punct stereotipa, pare sa confirme existenta unui anumit sablon, a unui anumit soft si a unui anumit patern, (sa zicem o reuniune de fractali/fractale ), comun pentru toti reprezentantii speciei umane.
Diferentele de gindire sunt generate tocmai de anumite variatii infinitizimale, aparent de o importanta minima, dar care declanseaza „prapastii ” de gindire si interpretare de la un individ la altul.

Frumuseţea Omului şi a Naturii tocmai în asta constă.

imagine – Albert Klein

fractalii platonici

Nu va speriati. Nu ati inteles gresit. Am tastat corect titlul postarii :).
Exista fractali platonici, oricit de incredibil ar suna aceasta.

Dar sa incep cu inceputul.
Voi introduce citeva notiuni de geometrie absolut necesare in demersul de a intelege fractalii.
Stiati ca toate corpurile solide se impart in doua categorii : solide platonice si solide arhimediene sau arhimedice ?

Suta la suta le cunoasteti, insa nu sub denumirea pe care am utilizat-o eu.
Exista cinci tipuri de corpuri solide platonice : tetraedrul sau tetrahedronul, cubul, octaedrul sau octahedronul, dodecaedrul sau dodecahedronul si icosaedrul sau icosahedronul.

 

 

Categoria solidelor arhimediene e compusa din treisprezece corpuri, toate trunchiate : cubul trunchiat, octaedrul rombi-cubic, meconul, icosaedrul trunchiat, etc …
Iata doar citeva exemple:

 

Asa cum, initial, orice iubire carnala a avut la baza o iubire platonica, tot asa, solidele arhimediene au la baza solidele platonice.
Continuind analogia aceasta fantezista, care nu are nici o legatura cu Platon si Arhimede :), si plecind de la realitatea ca e necesar ca cele doua forme de iubire sa duca la complementaritatea dorita, avind corespondent una in cealalta, ajungem sa intelegem cum se face ca orice solid arhimedian are un unic corespondent platonic :), doar tetraedrul fiind propriul sau dual.
Pornind de la formele cele mai complexe, cele cu douazeci de fete, aceste poliedre se inscriu unele in altele, ultimul invelis fiind dat de poliedrul cu cele mai putine fete, adica cubul simplu. Fiecare solid platonic il imbratiseaza pe solidul sau dual arhimedian, ca in final sa rezulte un model de tipul celui din figura :

 

Ducind linii de intersectie ce pornesc din virfurile diferitelor corpuri, mereu si mereu, vom obtine acele raporturi de aur, numere de aur, sectiuni de aur, sau sectiuni divine, sectiuni pe baza carora e cladita toata materia Universului.

Prin compunerea corpurilor solide platonice cu cele arhimediene rezulta fractalii platonici, si nu pot sa trec mai departe fara sa ilustrez cu o imagine creata in 1971 de catre artistul maghiar Victor Vasarely, si sa nu spun ca Vasarely a imaginat astfel de structuri cu ani inainte ca „fractalii” sa fie definiti de catre matematicieni :)

Pe viitor ma voi opri mai mult asupra unor fractali platonici extrem de cunoscuti, cum ar fi de exemplu covorul lui Sierpinski. Deci fiti pe faza :)

In prima imagine a blogului am dorit sa arat usurinta cu care se face trecerea de la cub la dodecaedru, si invers.
Am vrut sa arat ce usor vizibilul se topeste in invizibil si cele nestiute se reveleaza in toata profunzimea lor.

In acelasi mod se face trecerea de la dragoste la ura, sau de la ura la dragoste, ne spunea profesorul nostru de matematica, utilizind comparatii care ne faceau sa zimbim.

Chiar si dupa atitia ani nu stiu daca trebuie sa-i dau dreptate …

atractorii stranii nu sunt ciudaţi defel :)

„Matematica poate să descopere o anumită ordine chiar şi în haos”, spunea Ch. Stein, deci nu trebuie sa socheze pe nimeni afirmatia ca Haosul e predictibil.

Nimic nu e la voia intimplarii in Univers. Lucruri aparent haotice, sau fara sens, sunt guvernate de legi in care un numar urias de variabile si constante conlucreaza in spatele unei cortine greu de patruns : puterea noastra de intelegere.

In aceasta noua odaie virtuala a blogului voi incerca sa vorbesc despre fractali, haos, atractori stranii, sisteme dinamice, teoria catastrofelor si multe altele.
Pentru inceput ma voi ocupa de atractori :), si as dori ca subiectul sa atraga cit mai multa lume.

Notiunea de atractor straniu, strange atractor, a fost folosita pentru prima oara in 1971 intr-un articol intitulat On the nature of turbulence. In scurt timp, articolul semnat de belgianul David Ruelle si olandezul Floris Takens a cistigat celebritate.
Acesti doi matematicieni au pornit in analiza lor de la observatiile lui Edward Lorenz cu privire la acumularile de date meteorologice legate de unele variabile informationale precum presiunea si depresiunea aerului, viteza vintului, temperatura medie si de saturatie, umiditatea relativa, etc.
Lorenz era convins ca acumularile de date nu sporesc precizia unei prognoze meteo pe termen lung.
El spunea ca : „un sistem dinamic de tipul celui meteorologic e alcatuit dintr-un numar urias de elemente interactionale, hipersensibile la actiunea celui mai mic factor „.

John Briggs adauga : „Caldura degajata de capota unei masini, vintul produs de aripile unui tintar in Madagascar, aproape orice element neinclus in masuratorile unui meteorolog poate fi suficient pentru a schimba comportamentul unui sistem meteorologic.”
(Fractals. The Patterns of Chaos, New York, London, Toronto: Simon & Schuster, 1992, p. 16).

Cu alte cuvinte, un element minuscul aparut in interiorul sistemului dinamic ar duce la o perturbare haotica majora, anulind exactitatea oricaror previziuni.
Orice element minuscul poate transforma ordinea in haos, certitudinea in incertitudine.

Daca sistemele regulare clasice cum ar fi orbita Pamintului sau traiectoria unui corp astral, pot fi configurate matematic in forme la rindul lor regulate – datorita faptului ca miscarea lor e atrasa de aceste forme care au aspect regulat, repetabil si cert – nu acelasi lucru se intimpla cu sistemele haotice, dinamice, ca de exemplu fluctuatiile bursiere, starile climatice, jocul de biliard, fumul de tigara, felul in care se formeaza dunele de nisip, activitatea cardiaca si chiar intuitia.
Acestea par a fi atrase de forme stranii, necunoscute, aparent incerte si cu o comportare neregulata.

Primul caz a fost definit de matematicieni drept cazul atractorilor predictibili, care corespund comportamentului in directia caruia un sistem clasic este „atras”, ca de exemplu un punct, un cerc, o elipsa, banda lui Moebius, spirala, etc.
Al doilea caz a fost numit cazul atractorilor stranii sau ciudati.
Atractorii stranii, strange atractors, apar ca reflectori ai transformarilor permanente din interiorul sistemelor dinamice haotice, dar care tind catre „ceva” care ne scapa.

„Un atractor straniu e reprezentat de o traiectorie nepredictibila in care o diferenta minima in pozitiile de plecare a doua puncte initial adiacente duce la pozitii total necorelate in timp sau in reiterarea matematica”
(Clifford A. Pickover – Chaos in Wonderland. Adventures in a Fractal World, New York: St. Martin’s Press, 1995, p. 295 )

Unii specialisti in stiinte psihologice si neuronale privesc cu optimism la ideea posibilitatii simularii activitatii dinamice a creierului uman pornind de la un fundament nou, si anume, fractalii, atractorii stranii, teoria haosului…
Ei spera sa poata simula si prezice actul de gindire, starile psihologice complexe, actele decizionale si chiar cauza si momentul in care o persoana se va indragosti de cineva :)

Dar ce inseamna a gindi? Cum o facem? Cum reusim sa intelegem notiuni ca: miscare, culoare, greutate, sunet, mirare, intuitie, rabdare …
Pun o intrebare retorica : chiar credeti ca ati inteles conceptul de greutate ?

” Imaginaţi-vă că un zoolog preistoric hotărăşte că unele lucruri sunt mai grele decât altele – au o anumită calitate abstractă pe care el o numeşte greutate – şi ar vrea să cerceteze ştiinţific ideea. Nu a măsurat niciodată greutatea, însă crede că o înţelege oarecum. Priveşte şerpii mari şi mici, urşii mari şi mici şi presupune că greutatea acestor animale ar putea avea o oarecare legătură cu dimensiunea lor. Construieşte un cântar şi începe să cântărească şerpii. Spre uimirea lui, toţi şerpii au aceeaşi greutate. Totodată, spre consternarea lui, şi urşii au aceeaşi greutate. Şi, spre uluirea sa, urşii au aceeaşi greutate cu şerpii. Toţi cântăresc 4,6692016090. Evident, greutatea nu este ce şi-a imaginat el. Întregul concept trebuie regândit.”
(Gleick, Chaos)

In textele urmatoare vreau sa va invat cum sa reginditi conceptele :), iar pentru aceasta voi incerca sa imbrac in haina simplitatii teoriile cele mai alambicate si formulele cele mai complicate.

Spre a putea explica cum functioneaza microcosmosul unei celule, sau macrocosmosul din care facem parte, nu ne trebuie decit doua numere, 0 si 1, plus intervalul dintre ele.
Setul Cantor tocmai aceasta inseamna.
Infinitul e compus din „infinitati de infinitati” frânte dupa legi ce pornesc de la „proportii de aur”, de la „numere de aur”.

Stiati oare ca de la 0 la 1 sunt tot atatea numere cite sunt si de la zero la infinit?

imagine – Brian Klimowski