TU, fractalul …

fractalcristal.jpg

Text reeditat si repostat la sugestia lui Cristian Cocea :).

De la particulele subatomice pina la corpurile stelare si galaxii, toata materia ce compune Universul e stratificata ierarhic.

A fost avansata si ideea unei similaritati cu sine, self-similarity, si de aici ipoteza ca natura si cosmosul ar fi compuse din fractali.

Toata lumea stie ca atomii sunt compusi din particule subatomice, elementare, iar stelele sunt compuse din atomi … insa putini oameni s-au gindit ca si stelele pot fi asemenea  unor atomi galactici care, la rindul lor, compun ceva mult mai complex, ceva ce depaseste puterea de investigatie a omului mileniului trei.

Ce este un fractal ?
Cea mai simpla definitie cred ca ar fi aceasta :
– repetarea la infinit si pe mai multe straturi ierarhice a unor motive geometice sau paternuri care au la baza un raport matematic din categoria „proportiilor de aur” – golden proportion, ca de exemplu numarul PI(3.14), numarul lui Fibonacci, baza logaritmului natural …

An2a.gif

 

Cuvintul fractal provine de latinescul frangere – a fringe, a sparge.

Un fractal este o formă ce are dimensiunea Hausdorff-Besicovitch mai mare decât dimensiunea sa topologică tradiţională.
Ar trebui amintita si teoria haosului care incearca, printre altele, sa explice fractalizarea materiei si a proceselor; ba mai mult decit atit, a fost avansata si ipoteza „simetriei haosului”.

De la fractalii lui Mandelbrot  la cristalele de gheata ale lui Fournier, de la triunghiul lui Sierpinski   la vasele sanguine, frunzele copacilor, aripile fluturilor, frunzele de feriga, cochiliile melcilor, conopida, floarea soarelui, dunele de nisip ale desertului, molecula ADN/DNA, apa, vintul, muzica, dragostea … totul este de fapt o repetare a unor motive, patterns, dupa un anume algoritm si anumite reguli ce guverneaza Universul.

 

fibbon1.jpg

(numarul lui Fibonacci : 34 / 55 = 0.618 sau 55 /34 = 1.618 care in imagini arata astfel)

 

Matematicianul Michael Barnsley a fost fascinat din copilarie de ferigi, de uluitoarea repetare a formelor acestor crengi, dar de abia cu multi ani mai tirziu a reusit sa inteleaga modul in care fiecare frunza se aseamana cu intregul, a reusit sa scrie un program de calcul pentru a modela aceste caracteristici de crestere si a transformat banala feriga in unul dintre cei mai cunoscuti fractali.

Barnsley a continuat să dezvolte o metoda nouă, unică, de desenare a fractalilor: Jocul Haosului. Chiar şi mai important, în 1985, Barnsley şi John Elton (nici o legatura cu cintaretul Elton John  : ) ) au demonstrat că orice imagine din lume poate fi reprezentată cu ajutorul unei binecunoscute categorii de fractali.

Geometria fractala nu a patruns  doar  in fizica.
Medicina, climatologia, geologia, seismica si chiar marketingul si economia, utilizeaza programele de simulare fractala.

Seismologii vorbesc de valuri fractale,  fractal waves, ce strabat scoarta pamintului.
Psihologii vorbesc de asa numitele boli dinamice ce apar in momentul desincronizarii fractalilor, sau cum ar spune medicina indiana – atunci cind omul iese din armonia Universului.

Cu ajutorul simularilor fractale (sau fractaliere) ale lui Mandelbrot a fost posibila prezicerea cu mare exactitate a variatiei pretului de bursa al bumbacului.

Geneticienii sint convinsi ca molecula ADN/DNA este unul dintre cele mai complicate modele fractale existente in natura si reprezinta prin excelenta acea „similariate cu sinele”, self-similarity , cit si principiul „partii asemanatoare cu intregul”.

Ma gindesc la Eminescu care spunea in Scrisoarea I :
„Unul e in toti, tot astfel precum una e in toate „…

Din punctul de vedere al darwinistilor Natura e rezultatul a doi factori majori : mutatiile genetice si selectia naturala ( random genetic mutation and natural selection ).

Astazi insa, oricine vrea sa scrie o lucrare despre designul entitatilor naturale, specia umana, regnul animal, regnul vegetal … si terminind cu cele mai simple celule sau cu molecula ADN/DNA, e nevoit sa faca apel la geometria fractalilor.

Aventura fractalilor incepe in 1975 cind matematicianul francez Benoit Mandelbrot publica celebra sa carte Les Objets Fractal.

 

 

 

 

Un deceniu mai tirziu, Gleick observa ca multi biologi reusisera sa faca unele analogii intre fractali si organe anatomice sau tesuturile care le compun, ex: branchiile, tesutul inimii, etc.

Iata ce scrie Gleick :

„some theoretical biologists began to find fractal organisation controlling structures all through the body. The standard „exponential” description of bronchial branching proved to be quite wrong; a fractal description turned out to fit the data. The urinary collecting system proved fractal. The biliary duct in the liver. The network of special fibres in the heart that carry pulses of electric current to the contracting muscles….”Gleick pune retorica intrebare :
” Cum a reusit natura sa evolueze catre aceasta complicata arhitectura si cum reuseste sa o controleze ?”

In cartea sa Mandelbrot nota ca numai in geometria euclidiana se poate vorbi de complexitate.
Geometria fractalilor se bazeaza pe seturi foarte simple.
Celebrul set fractalier Mandelbrot are la baza o ecuatie simpla de forma : z’=z2 + c.

 

mandellz.gif

 

 

Mandelbrot a spus : „Take a number, multiply it by itself, and add the original number”.

Setul Julia are la baza urmatoarea formula :

Cλ(z) = iλ cos z
Pentru λ aproximativ egal cu 0.67 se obtine imaginea de mai jos :

 fractal_2a.jpg

 

Este suficient ca λ sa creasca foarte putin ca valoare pentru a se trece din starea de ordine in cea de haos , iar figura urmatoare ilustreaza foarte bine ce se intimpla atunci cind λ variaza cu o cantitate aproape infinitezimala in raport cu valoarea proprie.

fractal_2b.jpg


Tragem concluzia ca intre ORDINE si HAOS nu sint decit niste diferente MINIME.
  La fel intre IUBIRE si URA.

Matematica si geometria fractalilor reprezinta un pod de legatura intre ordine si dezordine, intre intimplare si prezicere, intre unitate si intreg, ceva asemanator celebrului model al oului chinezesc,  chinesse egg.

Iata ce scria William. F. Allman in articolul „The Mathematics of Human Life” :
„The body’s overall structure bears the signature of the chaotic processes that shape it – right down to the DNA molecule that serves as its genetic blueprint. The fractal nature of DNA appears to play a role in its ability to pass on biological information that controls development of the various parts of the body. Because fractals represent a midway point between randomness and predictability, DNA’s fractal structure may represent a compromise between encoding the maximum amount of information, while still being extremely resilient to damage”
Dr. Lipton
are citeva carti si articole interesante pe tema structurii fractaliere a moleculei DNA/ADN. El a lansat si conceptul omului fractal.

„I was sitting in my laboratory looking at a eukaryotic cell through an electron microscope. I was reiterating in my mind the common understanding that all the physiologic systems that can be found in the human being are in the eukaryotic cell when it really struck me… the cell I was looking at was a fractal of the human being. Alternatively, the human being is a fractal of the cell – a version on a greater order of magnitude.”…deci dupa parerea lui Lipton omul este un fractal al celulei !!!

Frumusetea din noi se intinde dincolo de puterea noastra de intelegere. O putem privi doar cu ochii mintii. Iar atunci cind vom putea trece de anumite bariere de gindire si de egoism, vom constata cu stupoare ca nu avem cum sa fim nefericiti.

Cind am ascultat-o pentru prima data pe Vanessa Mae cintind la vioara Tango de los exilados, am avut in minte ceva asemanator cu ceea ce se vede mai jos … numai ca ritmul era cu mult mai alert .

 

 

Anunțuri

36 de gânduri despre „TU, fractalul …

  1. >(n-am citit inca parerea ta, vad ca ai muncit ceva-ceva)STIU, NU-I MINUNAT ?FRACTALUL…da..daaaa…DAAAAh !(hai nu plange, am glumit). Pe bune ! Ca si HOLOGRAMA de acum cateva decenii, o „descoperire” remarcabila !Le primim cu tzaraita, nu prea le meritam, ne e gandul DOAR la Distrugere !

    Apreciază

  2. >Buna X, reusit si neobisnuit articol, ma intreb ce va urma, cateva creatii picturale ?Succesul vizual al fractalilor in geometria naturii readuc publicului aminte de matematica, de care uitam odata scapati de obligatia scolii.Rareori simtim cu adevarat ce au in comun unele lucruri, unii oameni. Un fel de fractali or fi si sentimentele, adica niste structuri ce doar par neregulate. Ce remarc eu: TOTI FRACTALII TIND LA CEVA.Am avut intotdeauna o mica dificultate de a gandi, ceea ce nu pot vizualiza, algoritmizez mai greu nevazutul. ;-) Nu stiu daca ne vor ajuta sa intelegem aleatoriul, cateva idei vor mai rasari si jucand cu fractalii.:-)

    Apreciază

  3. >de ce am impresia ca titlul „trebuia” sa fie „EU, fractalul” ? … stiu ca am mai citit articole ale tale despre fractali, inclusiv forma initiala(?) a acesuia :D … dar nu imi mai amintesc de unde „eu” :))si pentru mine a fost o surpriza placuta intalnirea cu fractalul, in facultate … cand am aflat ca natura poate fi reprezentata prin algoritmi recursivi, … ca ascunde atatia fractali :)

    Apreciază

  4. >@angel, bun venit pe aici. Ma bucur ca ti s-a parut interesant.@DoarATATNu am muncit cine stie ce la acest text. Sunt lucruri ras-stiute pe care am incercat sa le transpun in cuvinte simple si intr-o forma cit mai acesibila, caci daca ma limitam doar la ecuatii matematice, ati fi dat bir cu fugitii de pe blogul meu :)@gabilutzaNu stiu ce va urma dupa aceasta postare. Nu am nimic in draft … si oricum, scriu mai mult dupa inspiratia de moment.Toti fractalii tind la ceva. Indiferent daca scriem aceasta propozitie cu majuscule, sau cu minuscule, ea reprezinta un adevar.”La ce tind fractalii?” … iata un bun titlu de blog :). Cine stie, poate in viitor voi incropi un „text horror” pe tema asta.Se poate discuta la infinit despre legatura dintre fractali si gaurile negre, timpul repetitiv, … despre „atractorii stranii” (notiune introdusa in 1971 de belgianul David Ruelle si olandezul Floris Takens) si multe altele.Oare „space-time continuumul” definit de Einstein are o structura fractala? Spatiul dintre corpurile ceresti e un spatiu vid. Atunci cum se face ca fizicienii prezinta Cosmosul ca pe un urias sistem compus din fractali?Acest lucru e posibil doar in cazul in care am putea dovedi ca exista o „vascozitate” a spatiului vid, neumplut de materie.PS. Am de gind sa-ti „fur” o propozitie de pe blogul tau si sa o tranform intr-un capitol separat pe acest blog. Deci te-am avertizat!@adiProbabil ca „EU Fractalul” are mai multa muzicalitate decit „TU fractalul”, insa pe mine literatura persana m-a influentat destul de mult, asa ca, asemeni poetilor persani pe care ii admir, am tendinta de a scrie la persoana a doua singular, ca si cum m-as adresa unui interlocutor invizibil, dar care urmareste cu interes ceea ce-i comunic.

    Apreciază

  5. >surprinzator articolul. nu ma asteptam la fractali. si eu sunt fascinata de acest domeniu. conceptele introduse de geometria fractala, impun o schimbare esentiala in modul nostru de manifestare. trecerea asta de la conceptele euclidiene la geometria fractala, schimbarea asta este in mod evident dificila,insa, dupa cate se pare, acesta este cursul ce ne asteapta in viitor: readaptarea tuturor viziunilor asupra lumii, asupra naturii, asupra modului de viata ales.

    Apreciază

  6. >O prezentare foarte faina a sectiunii de aur, PI, a sirului lui Fibonacci etc. si prezenta lor in arhitectura, natura, muzica a facut genialul Matila Ghyka in cartile sale, in special The Geometry of Art and LifeLe nombre d’orUn alt matematician roman bun-de-citit si de catre „laici” este Solomon Marcus:Semiotica matematica a artelor vizualeSemiotica folclorului. Abordare lingvistico-matematica

    Apreciază

  7. >@oceaniaMatematica si fizica pot schimba perceptia omului modern asupra lumii.Recomand o carte interesanta pe care eu personal am citit-o de foarte multe ori. O carte despre legatura dintre fizica si arta … scrisa de un medic chirurg :)”Art and Physics: Parallel Visions in Space, Time, and Light ” de Leonard Shlain@LanternativaDin fericire, pe blogul lui Calin Gabriel, l-am descoperit pe Matila Ghyka.http://cfloare.blogspot.com/2009/02/matila-costiescu-ghyka.htmlAm inceput sa citesc despre acest personaj senzational, si cele scrise de dinsul, si datorita faptului ca el, impreuna cu printul Bibescu si Marta Bibescu – o veritabila printesa a literelor, au vizitat Persia :)@Gabriela SavitskyPoti sa-l preiei, bineinteles …Ma mira entuziasmul aratat fata de acest subiect :)Eram convinsa ca textul nu va fi bagat in seama sau luat in serios…. azi chiar ca a fost ziua surprizelor :)

    Apreciază

  8. >Am ajuns si eu aici… nu stau mult. E un articol bine documentat. Cred ca ma voi obisnui cu acest stil atât de diferit de al meu.Despre fractali am scris odata (citeva fraze) fara sa fi citit ceva in acest sens, niciodata. Eu sunt mai primitiva de felul meu. Frazele respective contineau doar o concluzionare pe marginea unui mic studiu personal.Primisem de la Corel un CD cu Fractali acum vreo 7 ani. Si pentru ca intr-o zi oarecare m-am impiedicat din nou de el, in mormanul de CD-uri, l-am luat sa-l reprivesc. Vreau sa zic ca imaginile sunt rapitoare, mai ales ca le am la rezolutie mare. Atunci am realizat, ca desi era extraordinar continutul, nu-i gasisem niciodata o utilitate. Nu-mi potriveau imaginile cu fractali nicaieri. Nici in ambienturi (ca tablouri, de ex) nici in design-uri moderne… nowhere… Noi nu mai promovam perfectiunea si armonia in starea lor pura. Încercam sa impresionam cu anomalii ale lor, le creem defecte, care le punem in fata. Cele 100 de imagini ma fascinau, vedeam logica de obtinere a lor – vedeam elementul „base” transpus pe spirala infinita (caci asa se formeaza). Imaginile trebuiesc privite cu mare atentie. Modul de obtinere a dantelariei este mai mult decit ingenios – tinând de perfectiune intradevar. Adevarul ca lucrurile construite pe matematica pura dau in acesta etc…De la ele, pina la idea integrarii in natura, si in continuare in tot ce e viata, om, vase de singe, retele neuronale… m-am prins repede… am scris cele citeva fraze. Am privit chiar incântata constatarea si le-am uitat acolo. Acum il regasesc aici… putin altfel rostit, dar aceiasi idee.Fractalii sunt „a piece of perfection, indeed” – si consider ca aleatoriul nu are de-a face cu aceasta notiune.

    Apreciază

  9. >@ -X-Franz Binder, unul dintre cei mai mari exploratori transilvani, a vizitat, cu mult inainte de Ghiculesti si Bibesti, Iranul. Si nu este singurul transilvan care a facut-o. Din pacate, aceste personalitati sunt extrem de putini mediatizate la noi… De ce?Vreau sa te intreb: ce parere ai despre Hakim Bey?

    Apreciază

  10. >@gabrieladsavitskyNu ma refeream la o categorie anume sau la cineva in mod special. Pur si simplu m-a luat prin surprindere numarul raspunsurilor primite din partea cititorilor.@frenchmariaFractalul e mai mult decit o imagine grafica frumoasa pe care o admiram pe monitorul calculatorului :)Fractalul, in primul rind, e o entitate purtatoare de informatie primordiala capabila sa se replice/copie la infinit.@Lanternativa Hakim Bey aka Peter Lamborn Wilson ? … l-as caracteriza in acest fel : un sarlatan ce se vrea ‘guru urban’, un pseudo-filozof avangardist ce se crede un veritabil sufist, un vagabond ce a invatat suficienta fizica ca sa poata jongla cu notiuni ca haos, entropie si expansiunea Universului, un spirit inteligent ce a combinat anarhismul cu mistica si poezia … aamd :)

    Apreciază

  11. >Îţi mulţumesc pentru acest post! L-am văzut cam tîrziu dar… Fascinant cum se propagă formele, se înmulţesc, se cuprind. Iar căutătorii Legii, aşa ca tine, cei care se uită pe dosul Covorului Vieţii, sînt plăcuţi în ochii Marelui Arhitect al Universului. Citindu-te, mă gîndeam la Hermes Trismegistul, cu a sa Lege – Ce e Sus e aidoma cu ce e Jos. O să pun pe blog un link către asta, daca îmi permiţi… Cristi Cocea

    Apreciază

  12. >Trecind pe blogul tau am aflat ca ai fost in calatorie. Urmeaza sa povestesti detaliile, si bineinteles sa ilustrezi totul cu cit mai multe imagini.Daca crezi ca merita (sa fie citit), poti pune link.Ma gindeam sa-mi mobilizez neuronii si sa incerc sa scriu ceva despre „atractorii stranii”, coincidenta, fatalitate, crahuri financiare, revolutii si miscari sociale … fara ca sa-i scandalizez pe cunoscatorii in domeniu :)

    Apreciază

  13. >Subiectul e incitant … nu stiu insa ce voi fi in stare sa scot din acest subiect :)Multumesc pentru link si pentru imaginea frumoasa care il insoteste.

    Apreciază

  14. >Despre Asimov amintea si C.T. Popescu. Astept un raport la fel de complex precum despre fractalii. P.S. Un presedinte al Romaniei, Constantinescu Emil, lauda pe un universitar de-al dumnealui ca studiaza fractalii; dumneavoastra sunteti?

    Apreciază

  15. >In viata mea nu am stat de vorba cu Emil Constantinescu si de aceea cred ca intrebarea din comentariu m-a binedispus ,,. nu studiez fractalii iar ceea ce am scris sunt lucruri asa cum le-am inteles eu prin prisma unui amator atras de aceasta lume minunata.

    Apreciază

  16. >Frumoasa creatie,speram sa fie o creeatie din partea ta si nu copiate de cele zise de alti.Pentru tine cum arata perfectiunea?Creatia atractiei din respingere?Putem sa vedem exemple in natura.

    Apreciază

  17. scurt, trebuie să plec la serbare la grădiniţă :D

    1. motto scris de un prieten în facultate la o lucrare la urbanism (se folosesc algoritmi fractalici în arhitectură) – „cine e fractalii şi ce vrea ei?”

    2. ceea ce e sus e la fel cu ce jos – Kybalion

    3. la conţinut o să revin. interesant subiect, ce e mai interesant e că şi eu am avut foarte de curând o introspecţie în domeniu. mă întreb pe tine ce te-a împins înspre subiect….

    Apreciază

  18. Petrecere frumoasa la gradinita :)

    Despre fractalii din arhitectura voi scrie cat de curand. Luna trecuta am aprofundat subiectul ….
    La mine ‘impingerea’ inspre fractali dateaza de foarte multa vreme, nu e un hobby de data recenta.

    Apreciază

  19. citeam parca pentru prima data comentariile si ma uimea cum imi furase identitatea „adi” :D … avatarul incruntat ce aparea la toti m-a scos din ceata. :)))
    wow! e de mai bine de doi ani postarea. ce repede trece timpul!

    „TU, nevazuta, dar te simt … te ignor, dar nu pot sa ma mint”

    Apreciază

  20. Ma bucur sa citest acest articol. Prima mea intalnire cu fractalii a fost cand aveam 15-16 ani si ma prinse microbul calculatoarelor. Atunci cineva mi-a facut cadou o carte despre fractali cu cateva formule. Pe atunci eram elev la arte plastice, si tot ce invatam despre calculatoare si informatica era un efort de autodidact.

    Nu mi-a trebuit mult pana sa fac primul meu Mandel in BASIC, iar apoi am gasit niste programe minunate care desenau peisaje prin fractali – VistaPro, mai tarziu Brice, pt cine isi aminteste. Pe atunci desenatul unui fractal pe calculator 486 sau Pentium I dura zeci de minute, dar era minunat.

    Mi-ai amintit de niste vremuri minunate.

    Pt cei interesati exista un program grozav (gratuit), numit ChaosPro, care genereaza fractali 3d. O sa vedeti cat de mult seamana unii fractali 3d cu organe sau tesuturi vazute la microscop.

    Apreciază

    • Imi pare bine ca te-am facut sa-ti reamintesti (in scris) clipe din anii de liceu. Apropo de fractali … intr-un articol citit mai demult cineva afirma ca fractalii reprezinta locul de intalnire al Artei cu Stiintele.

      Apreciază

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s